Representacion grafica de lugares geometricos

unidad 1.

REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES

Existen dos problemas fundamentales en la Geometría Analítica: 
1. Dada una ecuación hallar el lugar geométrico que representa.
 2. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática. 
Ecuación Gráfica

CONCEPTO DE LUGAR GEOMÉTRICO 
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen una determinada condición. La solución de un problema de lugares geométricos es una ecuación, la ecuación de todos los puntos que cumplen la dicha condición.  
El lugar geométrico se forma a partir de todos los puntos que satisfacen la condición, es decir, su gráfica representa la unión de una infinidad de puntos. Sin embargo, en la práctica se toma como referencia las parejas ordenadas que se obtienen de la tabulación y se unen. Para el ejemplo anterior son:( ) ,, 525− ( ) ,, 416− ( ) ,, 39− ( ) ,, 24− ( ) ,, 11− ( ) ,, 00 ( ) ,, 11 ( ) ,, 24 ( ) ,, 39 ( ) 416 , y ( ) ,. 525−  
Puede apreciarse que el punto ( ) 515 −− A, no pertenece al lugar geométrico, ya que si se sustituyen los valores, no satisface la ecuación.   
DISCUSIÓN DE UNA CURVA 
Para trazar una gráfica, el procedimiento consiste en localizar puntos derivados de una tabulación y dibujar una línea continua que pasa por todos ellos. Sin embargo, no todas las gráficas son continuas y por lo tanto, este procedimiento no es válido ya que se introducirían errores en el trazado de las gráficas.  
Para evitar errores de este tipo se debe realizar una investigación preliminar de la ecuación antes de trazar la curva. A esto se le conoce como discusión de una curva a través del método de los seis pasos. 
Las características por analizar son: 
1) Intersecciones con los ejes 2) Simetría 3) Extensión o campo de variación 4) Asíntotas 5) Tabulación 6) Trazado de gráfica. 
INTERSECCIONES CON LOS EJES 
Son los puntos en que la gráfica del lugar geométrico corta a los ejes coordenados. 
Para hallar la intersección con el eje x se hace 0 =y en la ecuación dada y se despeja la variable x . Análogamente, para hallar la intersección con el eje y se hace 0 =x y se despeja y . 
SIMETRÍA 
Existen tres casos posibles de simetría para un lugar geométrico: 
a) Una curva es simétrica con respecto al eje x si para cada valor de x se obtienen dos valores iguales pero de signos contarios de y . Por lo tanto, si una ecuación no se altera al sustituir y por y − , su representación gráfica o lugar geométrico es simétrica respecto al eje x . 
b) Una curva es simétrica con respecto al eje y si para cada valor de y se obtienen dos valores iguales pero de signos contarios de x . Por lo tanto, si una ecuación no se altera al sustituir x por x − , su representación gráfica o lugar geométrico es simétrica respecto al eje y . 
c) Una curva es simétrica con respecto al origen si para cualquier punto que pertenezca al primer cuadrante equidista de otro punto que esté en el tercer cuadrante o, si para cualquier punto que se ubique en el segundo cuadrante, equidista de otro punto que se localice en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, si una ecuación no se altera al sustituir x por x − y y por y − simultáneamente, su representación gráfica o lugar geométrico es simétrica respecto al origen.
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Lugares geométricos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
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EXTENSIÓN 
La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de las variables x y y son reales. 
Los valores de cada una de las variables para las cuales la otra se hace imaginaria, carecen de sentido. Aquí se pueden presentar dos opciones: 
a) Que se tenga un cociente. Aquí lo que debe evitarse es que el denominador se haga cero. b) Que tenga un radical con índice par. Aquí lo que debe cuidarse es que su argumento sea positivo o cuando menos igual a cero. 
Si no sucede ninguna de las dos opciones anteriores, entonces existe la gráfica en x para toda y y  en y para toda x . 
ASÍNTOTAS 
Si para una curva dada existe una recta tal que a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente de su origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva. 
Las asíntotas pueden ser horizontales o verticales (aunque en términos genéricos pueden tener cualquier inclinación). 
Un lugar geométrico tiene: 
• Una asíntota vertical cuando crece indefinidamente si x tiende a un valor finito. • Una asíntota horizontal cuando a  medida que x crece indefinidamente, la función tiende a un número finito. 
Un lugar geométrico puede tener más de una asíntota horizontal o vertical y sólo existen si hay expresiones racionales de las formas:  ( ) ( ) ( ) qx px fx =     o     ( ) ( ) ( ) qy py gy = 
En el caso de las funciones racionales, las asíntotas verticales se deducen de la expresión despejada para y y de los valores de x que no están en el dominio de la función, es decir, los que anulan el denominador.  
Por ejemplo, la curva ( )( ) 35 1 −+ = xx y tiene dos asíntotas verticales: una en 3 =x y la otra en 5−=x . 
En el caso de las funciones racionales, las asíntotas horizontales se deducen de la expresión despejada para x y de los valores de y que anulan el denominador.  
Por ejemplo, la curva ( )( ) 2124 1 2 −+ = yyy x tiene cuatro asíntotas horizontales: en 0 =y , 2 =y , 2−=y y en 6 −=y . Este paso es una consecuencia directa de la extensión.
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Lugares geométricos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
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TABULACIÓN 
Es el cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos (al menos diez) para obtener una gráfica adecuada.  
Por lo general, se sustituye el valor de x en la ecuación despejada para y en el paso tres. Siempre deben darse los valores de x con base en la extensión obtenida y así obtener y , o viceversa. 
TRAZADO DE LA CURVA 
Una vez efectuada la tabulación, se procede a localizar los puntos encontrados en el quinto paso y unirlos mediante una línea continua. Debe tenerse cuidado en trazar por anticipado las asíntotas (si las hay).
  Ejemplos. Discutir las siguientes curvas, mediante el método de los seis pasos:

1)  ( ) 0135 =−− yxxy  
Solución. • Intersecciones con los ejes * Con respecto al eje x ( ) 0=y 503(0)(0) =−− xx
0
5 0 50 = − =⇒−= xx ∴   la curva corta al eje x en 0 * Con respecto al eje y ( ) 0=x 05(0)3(0) =−− yy
0
3 0 30 = − =⇒−= yy ∴   la curva corta al eje y en 0 • Simetría * Con respecto al eje x ( y por y − ) 50)3(() =−−−− yxxy ( ) 0235 =−+− yxxy Como ( ) ( ) 12 ≠ , la curva no es simétrica con respecto al eje x . * Con respecto al eje y ( x por x − ) )05(3 =−−−− yxxy ( ) 0335 =+−− yxxy Como ( ) ( ) 13 ≠ la curva no es simétrica con respecto al eje y. * Con respecto al origen ( x por x − ) y ( y por y − ) )05()3()()( =−−−−−− yxxy ( ) 0435 =++ yxxy  Como ( ) ( ) 14 ≠ la curva tampoco es simétrica respecto al origen

                 ECUACIONES DE LUGARES GEOMÉTRICOS 

El segundo problema fundamental de la geometría analítica consiste en obtener la ecuación de un lugar geométrico dada su gráfica o sus condiciones básicas. En general, para obtener la ecuación de un lugar geométrico se sigue el procedimiento que a continuación se describe: 
Una vez conocidas las condiciones que debe cumplir un lugar geométrico, se expresan algebraicamente en términos de un punto ( ) x,yP que es un punto del lugar geométrico, y por lo tanto, satisface las condiciones dadas. Se obtiene la expresión (generalmente aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos), se simplifica, se iguala a cero y se comprueba que cualquier punto que pertenezca a la curva satisface la ecuación encontrada. Cualquier pareja de valores que satisfaga la ecuación representa las coordenadas de un punto del lugar geométrico. 
Ejemplos. 
1) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos ( ) x,yP del plano que equidisten de los puntos  ( ) 351 −P, y ( ) 622 P, − 
Solución.
La distancia al punto 1 P es: 22 1 5) (3)( ++ =−xyd y la distancia al punto 2 P es: 22 2 2) (6)( +− =+xyd Al equidistar, implica que: 12 dd = ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 6235 +−=+++∴− xyxy elevando al cuadrado: 2222 2)(6)(5)(3)( +−=+++− xyxy desarrollando: 441236102569 2222 −+ ++=+++++− yy xxyyxx reduciendo términos semejantes: 601814 =+− xy simplificando se obtiene: 3097 =+− xy

CÓNICAS

1º Introducción

Cónicas: Son líneas que se determinan al cortar un cono con planos de distinta inclinación. Las cónicas son: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola; es importante tener en cuenta que son líneas y no superficies.

El griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C) fue el primero en estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo.

Arquímides (287-212 A.C.) logró calcular el área de un elipse y de un sector de la parábola con un método precursor del cálculo integral, que se desarrolló hasta el s. XVII d. C.

Apolonio de Praga (262 - 190 A.C.) representa la culminación de la geometría griega. Fue el primero en demostrar que son secciones de un cono circular, recto u oblicuo y las estudió como curvas planas. Los nombres de elipse, parábola e hipérbola se deben a él.

2º Lugares Geométricos

Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:

• Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
• Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

2.1. Mediatriz

Recta perpendicular al punto medio de un segmento. Mediatrices de un triángulo son las m. de cada uno de sus lados. Las tres m. concurren en un punto llamado circuncentro del triángulo. También se puede definir la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

2.2 Bisectriz

De un ángulo, es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. También se puede definir la bisectriz de un ángulo como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de los lados del ángulo.

3º Circunferencia

Lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.. La distancia constante que separa cualquier punto de la circunferencia del centro es radio R.

Ecuación de la circunferencia:

Si C(a,b) es el centro de la circunferencia y P(x,y), un punto cuanquiera de la misma, la definición nos dice:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Esta es la ecuación de la circunferencia, o sea la condicion que deben cumplir las coordenadas (x,y) de cualquier punto que este en la circunferencia de centro (a,b) y radio r.

Desarrollando la ecuación anterior podemos escribir de otra manera la ecuación de la circunferencia.

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Ecuación reducida, es la que corresponde a una cónica cuyo centro es el origen de coordenadas. En el caso de la circunferencia la ecuación reducida es : x2 + y2 = R2

4º Circunferencia que pasa por 3 puntos

Si consideramos dos puntos A y B resulta que hay infinitas circunferencias que pasan por ellos, basta considerar la mediatriz del segmento que los une y observar que las circunferencias con centro en esa mediatriz y que pasen por uno de los puntos también pasarán por el otro.

Cuando disponemos de tres puntos P, Q y R que no estén alineados, la mediatriz de PQ y la Mediatriz de QR se cortarán en un punto, ese punto es el centro de la circunferencia que pasa por P, Q y R puesto que los tres equidistan de él. Dicho con otras palabras, consiste en hallar la circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro de dicha circunferencia se obtiene fácilmente, como intersección de las mediatrices de dos de los lados de ese triángulo. En el caso de que los tres puntos dados estén alineados el problema carece de solución

5º Posición relativa de una recta y una circunferencia

Una recta r: ax + by + c = 0 puede ser secante, tangente o exterior a una circunferencia c: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 según las

 

 

 soluciones del sistema:

- Si el sistema tiene dos soluciones, la recta será secante y estas soluciones serán los puntos de corte.

- Si el sistema tiene una solución, la recta será tangente, siendo la solución el punto de tangencia

- Si el sistema no tiene solución, la recta será exterior.

6º Posición relativa de 2 circunferencias

Dos circunferencias pueden presentar las siguientes posiciones relativas:

-Exteriores: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.

-Secantes: si tienen dos puntos en común, siendo la distancia entre sus centros menor que la suma de sus radios.

-Tangentes exteriores: tienen un punto en común y la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

-Tangentes interiores: son circunferencias que tienen un punto en común y la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

-Interiores: son circunferencias que no tienen puntos comunes y la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.

-Concéntricas: son circunferencias interiores que tienen el mismo centro.

7º Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario.

Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.

La ecuación de un elipse es x2/a2 + y2/b2 = 0

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :

8º Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.

El punto donde se cortan ambos ejes se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la

hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola.

Ecuación de la hipérbola :

x2 / a2 - y2 / b2 = 1

9º Excentricidad de una cónica

La excentricidad de una cónica, representado por e, es el cociente entre la distancia focal y la longitud del eje principal. Como la distancia focal es 2c y la longitud del eje principal 2a, la excentricidad es e = c/a

El valor de la excentricidad determina el tipo de cónica:

Si e < 1 es una elipse (circunferencia e = 0).

Si e = 1 es una parábola.

Si e > 1 es una hipérbola.

10º Posición relativa de 1 recta y 1 cónica

Las posiciones relativas entre una recta y una cónica pueden ser las mismas que dadas para una circunferencia. Para saber donde en que sitio nos situamos, resolveremos el sistema formado por la ecuación de la cónica y la ecuación de la recta dadas.

Las posiciones relativas posibles de una recta respecto a una cónica son tres:

Secantes, tiene dos soluciones.

Tangentes, tiene una solución.

Exteriores, carece de solución.

 

 

unidad.-2 

 USO DE CURVAS CANONICAS

 

Historia

Las curvas cónicas, fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Griega hace mucho tiempo. Se dice que Menaechmus fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base.

Menaechmus realizó sus descubrimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de resolver un problema de duplicar un cubo.

Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las cónicas. Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo una gran influencia en el estudio de las matemáticas. Apollonius escribió libros que introdujeron términos que hasta hoy son conocidos como parábola, hipérbola y elipse.

Este griego nació en donde en aquel entonces se llamaba Prega, Mauritania, que ahora es, Antalya, Turquía. Perga era el centro de cultura ese tiempo, donde se encontraban todos los sabios y científicos. En sus tiempos de juventud Apollonius fue Alejandría donde estudio con los seguidores de Euclid, donde luego se convertiría en maestro. Luego de estar varios años en Alejandría, el matemático se mudó a Pergamum, que ahora es la ciudad de Bergama, en la provincia de Izmir en Turquía. Pergamum era una ciudad antigua, situada a 25 km. de mar Aegan.

Los libros que escribió este griego, son algunas de las pocas fuentes de información sobre la vida de éste. Se supo, gracias a sus libros, que él tenia un hijo, que tenía el mismo nombre.

Apollonius escribió cónicas en ocho libros, de los cuales solo sobrevivieron los primeros cuatro en griego. Sin embargo en árabe sobrevivieron los primeros 7 libros de los ocho.

Apollonius describió las cónicas como las curvas formadas cuando un plano intersecta la superficie de un cono.

Curvas Cónicas

Sección Cónica

En geometría, una sección cónica es cualquier curva producida por la intersección de un plano y un cono recto triangular. Dependiendo de el ángulo de el plano relativo al cono, la intersección es un círculo, un elipse, una hipérbola o una parábola.

Las Cónicas se pueden describir como curvas planas que son los caminos de un punto en movimiento para que el radio de su distancia forme un punto arreglado (foco) a la distancia de la línea determinada (directriz) que es constante.

Si la excentricidad es cero, la curva forma un círculo, si es igual a dos, forma una parábola, si es menor a uno, forma un elipse, y si es mayor a uno, forma una hipérbola.

Elipse

Es una cueva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento de el cono.

Otra definición de un elipse es, que el locus de los puntos por los cuales la suma de sus distancias de dos puntos determinados, es constante. Entre más pequeña sea la distancia de el foco, la excentricidad disminuirá y el elipse se parecerá más a un círculo. El eje menor es perpendicular al eje mayor por el centro en el punto en el que la distancia es igual de el foco.

El foco es simétrico a sus dos ejes, la curva formada cuando se rota el elipse se llama elipsoide de revolución, o esferoide.

La ecuación de un elipse es x2/a2 +y2/b2=1

La distancia de el diámetro mayor es 2a, la distancia de el diámetro menor es 2b. Si c es tomada como la distancia desde el origen hasta el foco, entonces c2= a2 - b y el foco de la curva podría ser localizado cuando los diámetros menor y mayor se saben.

Ecuación:

(x-h) 2 + (y-k) 2 =1 Centro = (h, k)

a2 b2

Vertices = (h, k+a) y (h+a, k)

Focos = (h, k+c)

Hipérbola

Es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano que corta las dos secciones del cono.

Puede ser definida como una curva plana que es el camino de un punto al moverse, para que el radio de la distancia desde algún punto fijo (foco), hacia la distancia de otro punto fijo (directriz), es constante mayor a uno. La hipérbola por su simetría, tiene dos focos.

Si una línea es dibujada por el foco y prolongada después de el eje transversal de la hipérbola, perpendicular a ese eje, e intersectándolo en el centro geométrico de la hipérbola, un punto a la mitad entre los dos focos, ahí se encuentra el aje conjugado. La hipérbola es simétrica con respecto a sus dos ejes.

Dos líneas simétricas, las asíntotas de la curva, pasa por el centro geométrico. Ha hipérbola no toca las asíntotas, pero su distancia con ellas se acorta, pero nunca llegan a intersectarse.

Ecuación:

(y-k) 2 - (x-h) 2 =1 Centro = (h, k)

b2 a2

Vértices = (h, k+b)

Focos = (h, k+c)

Parábola

Una parábola es una curva abierta, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano paralelo a algún elemento del cono.

Puede ser definida como una curva plana que es el camino de un punto al moverse, para que el radio de la distancia desde algún punto fijo (foco), hacia la distancia de otro punto fijo (directriz), es igual a su distancia desde algún punto fijo (foco).

El vértice de la parábola es el punto en la curva que esta más cerca de la directriz, su distancia es igual desde la directriz y el foco. El vértice y el foco determinan una línea perpendicular a la directriz, a ésta línea se le conoce como el eje de la parábola.

Para una parábola que tiene el vértice el origen la formula es y2= 2px, donde p es la distancia entre la directriz y el foco.

Ecuacion:

(x-h) 2 = 4p (y-k) Vértice = (h, k)

y Foco = (h, k+p) y (h+p, k)

(y-h) 2 = 4p (x-k) Eje = x =h y y =k

Círculo

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro . El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro .

Puede ser definida como una curva plana que es el camino de un punto al moverse, para que el radio de la distancia desde algún punto fijo (foco), hacia la distancia de otro punto fijo (directriz), es igual a cero.

Ecuación:

(x-h) 2 + (y-k) 2 = r2 Centro = (h, k)

Radio = r